习题 14, § 2

a) 令$K$为极大有序域，令$E$为$K$的子域，令$f$为$E$上的多项式；证明$K$、属于到$F(E)$中的$f$的所有根（例11，b））（使用VI、p. 24的命题4）。推论如果$G$是$K$的子域并且$E \subset K$是扩张，与$G$相当（例11），那么$K$元素的集合在$E$上的代数是极大有序域相当于$G$。 b) 由a)推导出，在a)的假设下，域$K(G)$（例11，b））为极大有序域。 c) 令$f$为次数$\geq 1$除以$G$的多项式。证明$f(t)$相对于$G$无限大当且仅当$t$相对于$G$无限大； 元素 $f(t)$ 相对于 $G$ 无限小，当且仅当 $t$ 在 $K$ 中对 $I(G)$ 到根 off 全等模（分裂的 $K$ 使用根 off 进入区间，并且$K$中的$f'$，并应用Ex 13；注意，如果$x < t$和$x \in K$不全等模$I(G)$到$t$，则存在$y \in K$使得$x < y < t$和$y - x \in G$）。