习题 15, § 2

令$E$为有序域，令$K$为$E$的子域，使得$E$是$K$的代数，并令$R$为$K$的最大有序扩张。

a) 在 E – K 的元素中，令 x 为 K 上的最小多项式 f 具有最小可能的次数的一个。证明形式$(T - a_i)' + c_i^2$($a_i, c_i \in \mathbf{R}$)的R[T]中$f'(T)$为因子乘积，且先阶因子T – b，与b、K的元素两两不同。推论存在R 中的元素 $y_0$ 使得 $f(y_0) = 0$ 且$x_0 - z$ 和$y_0 - z$ 分别在 E 和 R 中具有相同的符号，对于所有 $z \in K$ (cf. VI, p. 43。Ex. 26, c))。

b) 从a)推导出，存在从有序域 E到R的子域的K同构。（首先证明对于E的子域$K(x_0)$存在这样的同构；对于任何多项式$g \in K[T]$使得$\deg(g) < \deg(f)$，应用与a)中的$f'$评估$g(x_0)$和$g(y_0)$的符号；然后应用 Zorn 的引理）。

c) 证明如果 R 和 R' 是 K 的两个最大有序代数扩张，则从 R 到 R' 恰好存在一个 K 同构（应用 b））。