习题 24, § 2

令K为极大有序域；考虑有理数函数在域$K(X)$上的排序，这使得它成为K的有序扩张。证明这个排序是由$x \in K$的集合A确定的，使得$x < X$（证明K上的每个多项式f的符号都由A确定，使用Prop.9 VI、p. 28）。相反，证明对于每个集合$A \subset K$，使得$y \in A$每当$y \leq x$和$x \in A$时，存在对应$K(X)$的排序，使其成为K的有序扩张，并且使得A是$x \in K$的集合，使得$x < X$（与方法相同）。当 A 具有最大元素或 $\complement A$ 具有至少元素时，或者当 $A = K$ 或 $A = \varnothing$ 时，则 $K(X)$ 的相应的排序使得 $K(X)$ 无法与 K 进行比较。 另一方面，如果 A 和 $\complement A$ 都不是空，且 A 中不存在最大元素，$\complement A$ 中至少不存在元素，则 $K(X)$ 与 K 相当。