习题 26, § 2

a) 如果 K 是阿基米德有序域（VI，p. 40，例 11，a）），并且 x 和 y 是 K 的两个元素和 $x < y$，则证明存在 $r \in \mathbf{Q}$ 使得 $x < r < y$。 \* 推论R与K同构的有序子域只有一个。 ■ b) 考虑域 $K = \mathbf{Q}(X)$ 的排序，其中 X 相对于 Q 无限大（例 24）。证明 K 与子域 $\mathbf{Q}(X^2)$ 相当，并给出 K 的两个元素 x、y 的例，使得 $x < y$ 且 $\mathbf{Q}(X^2)$ 中没有元素位于 x 和 y 之间。 c) 设 K 为 b) 中定义的有序域；表明多项式

K 上的值是不可约的，在 K 的每个最大有序扩张中都有根，并且对于所有 $a \in K$ 都有 $f(a) > 0$。