习题 28, § 2

a) 令 K 为 R 的子域，令 0 为实数，K 上的代数。证明 K 的有序扩张的 $\mathbf{K}(\theta)$ 上的结构的数等于 0 的实数共轭的数（使用例 14， a) (VI, p. 40) 和 26, a))。 b) 设 K 为 R 的子域，配备 Q 的有序扩张的 $n$ 不同结构，均为阿基米德；在这些排序下，令 $P_i$ ($1 \leq i \leq n$) 为正元素的集合。证明存在 K ($1 \leq i \leq n$) 的 $n$ 元素 $b_i$ 族，使得 $b_i \in P_i$ 代表所有 i，$b_i \notin P_k$ 代表所有 $k \neq i$。 （对于不同指标 $i, k$ 的每个对，令 $a_{ik} \in P_k$ 使得 $a_{ik} \notin P_i$；考虑元素

其中 r 为足够大整数。） c) 令$K = \mathbf{Q}(\theta)$为R中包含的Q的代数扩张，并令$n$为$\theta$的实部共轭的数。设C为K的元素平方和集合；证明$C^* = C \cap K^*$是$K^*$的子群以及$(K^*:C^*) = 2^n$。 （使用b）和Cor。 2 个VI、p. 23。）\*