习题 40, § 2

令 K 为有序域。将幂级数 $E = K((X))$ 有序域设为域，将元素 $> 0$ 设为幂级数 $\sum_{n=h}^{\infty} r_n X^n$，其非零的系数最小次数是 $> 0$。 a) 证明如果 $L = K(X)$ 是有理函数的 E 由……组成的子域在一个不定式中，则 $E = \tilde{L}$ (例 36) 直到有序域的同构 （观察对于每一个元素 $a > 0$ L 存在整数 $n > 0$ 使得 $0 < X^n < u$）。 b) 假设 K 是最大有序的。证明域 $K((X^{1/n}))$ 的并 F（与 E 的排序方式相同）是 E 的最大有序代数扩张（使用 V、p. 150 的例 2）。 c) 证明域 $\tilde{F}$（例 36）是形式级数 $\sum \alpha_r X^r$ 的域，其中 r 穿过有理数的集合 $\mathbf{Q}$，并且 r 的 $a_r \in K$ 和集合使得 $a_r \neq 0$ 为递增序列，它要么是有限的，要么趋于 $+\infty$； 阶这个域以与E相同的方式。特别是$\tilde{F} \neq F$。