习题 10, § 1

设 d 为有理数整数且不能被平方 $> 1$整除。在二次域 $K = \mathbf{Q}(\sqrt{d})$ 中，我们将检查单位，即 K 的整数的环 A 的可逆元（例 8，b））。 a) 如果$d < 0$（“虚数二次域”），则证明K中唯一的单位是1和$-1$，除了$d = -1$，当i和$-i$也是单位时，对于$d = -3$，其中四个数 $1/2(\pm 1 \mp \sqrt{-3})$ 也是单位。 b) 从现在开始假设$d > 0$（“实二次域”），并假设K嵌入到$\mathbf{Q}$（VI，p. 25）的最大有序扩张中。 \* 对于 R 中的例。 \* 证明 K 的单位的群 U 的正单位形式子群 U'，且 U 是 U' 和 {−1, 1} 的直乘积。 c) 证明 K 的单位是整数，其中范数 1 或 -1。 d) 证明群 U' 是非平凡的（令 D 表示整数基的判别式（例 8，c））；证明 K 的整数 a 使得 N(α) ≤ D 被划分为同余类 mod U 的有限数 ； 选择整数 β，每个类 ；如果 B 是有理数数且 0 < B < inf (|β_i|)，则证明（例 9）存在 K 的整数 β，且 0 < |β| ≤ B 且 N(β) ≤ D ；推导出某个 ββ_i^{-1} 是单位 η 使得 |η| <1）。 e) 证明 U' 与 Z 同构的（证明存在单位 ε，使得 |ε| < 1 并且 |ε| 与此性质尽可能大，使用例 9 和 | xī| = | xi| 的事实：对于单位）。 f) 证明在 Q(\sqrt{2}) 中，元素 \sqrt{2} - 1 是 U' 的生成元，并且有范数 -1。 g) 证明如果 d 的素数因子 p 为形式 4n + 1，则 U' 的每个生成元都有范数 1。（观察 -1 不能在域 F_p 中为平方，使用 V， p. 93，提案 1，c))。