习题 20, § 1

\* 设 $\pi(x)$ 为小于实数 $x > 0$ 的素数中的数。对于每个整数 $n > 0$，证明

（注意，$\binom{2n}{n}$是所有素数q的乘积中的倍数，使得$n < q \leq 2n$）；另一方面，使用Ex。 19 显示 $\binom{2n}{n}$ 除乘积 $\prod p^{r(p)}$，其中 p 穿过素数数 $\leq 2n$ 的集合，并且其中 $r(p)$ 是最大的整数，使得 $p^{r(p)} \leq 2n$。从这个结果推导出存在两个实数 a 和 b 使得 $0 < a < b$ 和 （注意$2^{2n}(2n + 1)^1 \leq (2n)!/(n!)^{-2} \leq 2'''$）。

1 已经证明，当 x 趋向于 $+ \infty$ 时，$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$（cf. 对于例 A. E. Ingham，素数数的分布（剑桥大片，No. 30），剑桥大学出版社，1932 年）。

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