Bourbaki

习题 24, § 1

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代数, VII, p. 53

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

a) 设 n=∏kpkvk>0n = \prod_k p_k^{v_k} > 0 为有理数整数，用素数因子的项表示。证明 n 的正除子的和由公式给出

σ(n)=∏kpkvk+1−1pk−1. \sigma(n) = \prod_k \frac{p_k^{v_k+1} - 1}{p_k - 1}.
b) 如果 2n=σ(n)2n = \sigma(n)，我们说 n 是完美的。证明偶数数 n 是完美的当且仅当它有形式 2h(2h+1−1)2^h(2^{h+1}-1)，其中 h≥1h \geq 1 和 2h+1−12^{h+1}-1 是质数。 （如果 n 有形式 2mq2^m q，其中 m≥1m \geq 1 且 q 是奇数，则证明 q 可以被 2m+1−12^{m+1}-1整除，并推断出，如果 q 不是素数，则我们将有 σ(n)>2n\sigma(n) > 2n）。

解答

尚未写出解答。

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引用了

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