习题 5, § 1

令$A$为交换环，其中每个理想都是有限生成的。 a) $A$ 的元素 $p \neq 0$ 被认为是不可分的，如果它是不可逆的，并且如果关系 $p = xy$ ($x, y \in A$) 意味着 $x$ 或 $y$ 属于到 $Ap$。证明$A$的每一个元素$a \neq ()$都可以（至少以一种方式）写成不可整除的元素和一个可逆元的乘积（使用VII、p. 4的引理1）。 b) 如果不存在非零的幂等$f, g$中的对使得$f + g = e$和$fg = 0$，则称交换环$A$中的幂等$e$是不可分解的。两个不同的不可分解幂等具有乘积零。证明环 $A$ 中的每个幂等都是不可分解幂等的和（证明如果 e 是幂等，那么 I − e 也是幂等，并使用 VII、p. 4 的引理 1）。推断 A 是环 $A_i$ 有限族的直接乘积，其中每个理想都是有限生成的，并且单位元是唯一的非零的幂等。假设这个家庭至少有两个元素。那么元素 a = $\sum a_i$ （对于所有 i，a, ∈ A）是不可分的，当且仅当存在指标 k 使得 a, 是不可分的或者 $A_k$ 中的零，并且 a, 在 A 中是可逆的，对于所有 i ≠ k ；如果$a_k = 0$，那么$A_k$必然是整环。 c) 证明如果 1 是 A 的唯一非零的幂等，并且如果 x ∈ A 使得 $x^k \in A x^{k-1}$ 对于某些整数 k ≥ 1，则 x 是可逆的或$x^k = 0$（如果 $x^k = a x^{k'}$），则考虑 $a^{k'} x^{k'}$。 d) 令 p ≠ 0 为 A 中的零因子。证明 A 的非零元素存在有限序列 $(a_k)$、$1 \leq k \leq m$，使得$0 = pa_1$、$a_k = pa_{k+1}$（对于 1 ≤ k < m）、$a_m \notin Ap$ 和 $(a_k) \neq (a_{k+1})$ 1 ≤ k < m。