习题 7, § 1

给定整环 A，如果满足以下条件 ，我们将 $A' = A - \{0\}$ 中的映射 w 称为 N 欧氏函数 ： 对于 A' 的元素的每个对 x, y，$(S_I)$ w(xy) ≥ w(y)。 $(S_{II})$ 如果 a ∈ A' 且 b ∈ A'，则存在 A 的元素 q, r，使得 a = bq + r，并且使得 $r = 0$ 或 $w(r) < w(b)$。

如果A上存在欧氏函数，则A称为欧氏域。 a）证明Z和K[X]（其中K是域）是欧氏域。 b) 证明每个欧氏域都是主理想整环（如果a是A的理想，则选择$a \in a$使得$w(a)$尽可能小）。 c) 证明高斯整数 (VII, p. 1) 的环 A 是关于函数 $w(a + bi) = a^2 + b^2 = N_{\mathbf{Q}(i)/\mathbf{Q}}(a + bi)$ 的欧氏域（注意，对于所有 $x \in \mathbf{Q}(i)$，存在 $y \in A$ 使得$N(x - y) \leq 112$）。 d) 证明 Z 的二次扩张环 B 与基 $(1, e)$ ($e' \equiv 2$) 是相对于函数的欧氏域

（对于所有$x \in \mathbf{Q}(e)$，存在$y \in B$使得$|N(x - y)| \leq 112$）