习题 8, § 1

令 K 为二次方域，即 $\mathbf{Q}$ 的扩张次数 2。 a) 证明$K = \mathbf{Q}(e)$，其中$e^2$是有理数整数$d \neq 1$，不能被平方$> 1$整除（在$Z$中）。 b) 如果$a = a + be$ ($a, b \in \mathbf{Q}$)，令$\bar{\alpha}$ 表示$a + be$ 的共轭。 如果范数$\alpha \bar{\alpha}$及其迹$a + \bar{\alpha}$是有理整数，我们就说$a$是二次域K的整数。 证明 K 形式环 A 的整数（请注意，如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 K 的整数，则有理数数 $\alpha \beta + \overline{\alpha \beta}$ 和 $\alpha \overline{\beta} + \overline{\alpha \beta}$ 的和和乘积是整数，因此这些有理数是$Z$上的一元多项式的根；推导出它们是有理整数）。 c) 证明 $K = \mathbf{Q}(e)$ 形式的整数一个 $Z$ 模，如果 $d - 1 \not\equiv 0 \pmod{4}$ 则有基 $(1, e)$，如果 $d - 1 \equiv 0 \pmod{4}$ 则有 $(1/2(1 + e), 1/2(1 - e))$（如果 $a + be$ 是 K 的整数，检查$2a$和$2b$是有理数整数使得$(2a)^2 - d(2b)^2 \equiv 0(4)$，并研究它们是否可以是奇数）。 证明这些基 (III, p. 549, Def. 3) 的判别式分别为 $4d$ 和 $d$。