习题 10, § 2

u) 令 $M$ 为$n$-primary 模，没有无限高度的非零元素，并令 $N$ 为$M$ 的纯子模，由$M$ 的元素的最大伪自由族生成（例 4 和 7， b））。证明 $M/N$ 是可整除的模 （矛盾论证，应用例 8，c），例 8 7，c)，例如。 7，b)，最后是Ex。 4、c))。

b) 考虑 M 上可测量的拓扑 $\mathscr{T}$，通过将所有整数 $n \geq 0$ 视为 0 子模 $\pi^n M$ 的邻域基来定义（Gen. Top.、III、p. 5）。那么 M 的 $M/P$ 与子模 P 的商可被整除当且仅当 P 在拓扑 $\mathscr{T}$ 下在 M 中处处稠密。

c) 设$P_1, P_2$是M的两个子模，它们是纯的，在拓扑$\mathscr{T}$下M中处处稠密，以及循环子模的直和。证明 $P_1$ 和 $P_2$ 是同构的（请注意，对于所有 n，$P_1 / \pi^n P_1$ 与 $M / \pi^n M$ 同构）。

d) 令 M 为 M 关于拓扑 $\mathscr{T}$ 的完成（Gen. Top., III, p. 24）。证明对于所有 $a \in A$，$x \mapsto \alpha x$ 是从 M 到 $\alpha \hat{M}$ 的严格态射，$\pi^n \hat{M}$ 是开闭子模，对于所有 $n$，$\pi^n M$ 是闭包，并且商模 $\hat{M} / \pi^n \hat{M}$、$M / \pi^n M$同构。

e) 令 M 为 $\dot{M}$ 的挠元子模：证明 M 是 =-primary 模，$M = \overline{M}$，并且 M 是 M 的纯子模。

f) 假设$\pi$-主模 M 是循环子模族$(E_i)$ 的直和。那么 $\mathscr{T}$ 是离散的，当且仅当 M 的湮没子为 0 时。在这种情况下，令 E 为乘积模 $\prod E_a$，并令 F 为子模的 E 由……组成的元素所有可数的许多坐标都是零；表明 M 可以被识别为（作为非拓扑模）与 $(x_i)$ 的 F 由……组成的子模，这样，对于每个整数 $n$，只有有限多个指标 $\alpha$ 对应$x_\alpha \notin \pi^n E_\alpha$。然后证明这四个模M、$\hat{M}$、M、F是不同的。推导出M不是循环模的直和（使用e）），并且它不是不可分解模的直和（注意$\overline{M}$包含不是无限高度的元素，并应用例8，c））。