习题 12, § 2

当且仅当 M 中存在伪自由子集 H 时，$\pi$-主模 M 是循环子模的直和，这样，如果 N 是由 H 生成的 M 的纯子模，则$M(\pi) = N(\pi)$。 b) 模 M 是循环子模的直和当且仅当 M 是递增序列 $(P_k)$ 子模的并，使得每个 $P_k$ 中非零元素的 M 高度为有界。 （要查看条件是否足够，请使用 a）和 Ex。 11，b).) c) 由b)推导出，如果M是循环子模的直和，则M的每个子模都是循环子模的直和。 d) 设 M 为$\pi$-主模，没有无限高度的元素，具有生成元$(x_i)$的可数系统。证明 M 是循环子模的直和（如果

P_k 是由 x 生成的子模，对于 i ≤ k，然后将 b) 应用于递增序列 (P_k)，使用 Ex。 5 应用于递减序列 (P_k ∩ π^iM)（对于固定 k））。 e) 令 M 为 τ-primary 模，其可数系统为生成元。那么M是不可分解的子模的直和当且仅当M中无限高的元素的子模N是纯的（使用d）和Ex。 7、c))。