习题 4, § 2

A family $(x_i)$ of nonzero elements of a module M over a principal ideal domain A is said to be pseudofree if every relation of the form $\sum \alpha_i x_i = \beta y$ ($y \in M,\ a_i \in A,\ \beta \in A$) implies the existence of a family of elements $\alpha'_i \in A$ such that $\alpha_i x_i = \beta \alpha'_i x_i$ for each index $i$. 关系 $i \neq k$则意味着$x_i \neq x_k$；伪自由族的元素的集合称为M的伪自由子集。 a) 令$\pi$为A的不可约元。 证明，在 A-模和湮没子 $A\tau^n \ (n \geq 1)$ 中，任何元素和湮没子 $A\tau^n$ 都是伪自由的（使用 Bezout 恒等式）。 b) 令$(x_i)$为A-模M中的伪自由族，并令N为该族生成的M的子模。 证明对于$M/N$的每个元素$\dot{x}$，都存在元素$x \in \dot{x}$，其湮没子等于$M/N$中$\dot{x}$的湮没子。 如果$\dot{x}$在$M/N$中也是伪自由的，则证明$x_i$和x的族由……组成在M中是伪自由的。 c) 从a)和b)推导出，如果A-模 M有非零的湮没子，那么它是循环模的直和（约化对于$\tau$-初级模的情况，并将Zorn的引理应用到M) 的元素的伪自由族 (cf. VII、p. 19、Th. 2)。