习题 7, § 2

设 M 为模大于主理想整环 A；如果对于所有 $a \in A$，我们有 $N \cap (\alpha M) = \alpha N$，则 M 中的子模 N 被称为*纯*。 a) M 的子模 N 是纯的当且仅当，对于所有 $a \in A$ 和每个湮没子为 $Aa$ 的元素 $1 \in M/N$，存在元素 $x \in \dot{x}$ 其湮没子为 $Aa$。 b) 证明 M 的挠元子模是纯的。 M 的元素的族 $(x_i)$ 是伪自由的（例 4）当且仅当子模 $Ax_i$ 的和是直接的并且是 M 的纯子模。证明如果 P 和 Q 是 M 的子模，使得 $P \cap Q$ 和$P + Q$ 是纯的，则 P 和 Q 是纯的。如果Q是M的纯子模和M的$P \supseteq Q$子模，则P在M中是纯的当且仅当$P/Q$在$M/Q$中是纯的。 c) 证明M 的每子模 N 即M 的直因子都是纯的。对于 M 的直因子过滤族的并也是如此。相反，如果 N 是 M 的纯子模，并且 $M/N$ 是循环子模的直和，则表明 N 是 M 的直因子（使用 a））。给出直因子 P 的例和 M 的 Q，使得 $P \cap Q$（分别为 $P + Q$）不是纯子模（对于第一个例，取 $M = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}) \oplus (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})$，对于第二个 $M = \mathbf{Z}^2$）。 d) 令 N 为 M 的纯子模，其湮没子 $Aa$ 为非零的。 Iff 是从 M 到 $M/\alpha M$ 的自然同态，证明 f 限制到同构从 N 到 $f(N)$，并且 $f(N)$ 是 $M/\alpha M$ 的纯子模（使用 Bezout 恒等式）。推出（在c的帮助下）和Ex。 4, c)) $f(N)$在$M/\alpha M$中是直因子，并且$N$在$M$中是直因子。特别地，如果模$M$的挠元子模有非零的湮没子（这是有限生成时的情况），那么它是$M$中的直因子（cf.VII， p. 20，Cor.1 至 2）。

e) 令$p$为素数数；令$N$表示循环$\mathbf{Z}$-模$\mathbf{Z}/(p^n)$（$n \geq 1$）的直和，令$e_n$表示$N$的元素，除了第$n$之外，其坐标均为零，其等于类 1 mod $p^n$。令$M$为由元素$(e_n, p^{-n})$生成的$\mathbf{Z}$模块$N \times \mathbf{Q}$的子模。证明 $M$ 的挠元子模 $P$ 不是 $M$ 中的直因子（请注意，对于所有 $n$，$M/P$ 的每个元素都能被 $p^n$ 整除，并且没有$M$的元素除了$(0, 1)$的倍数以外还有这个性质）。