习题 9, § 2

a) 令$M$为$n$主模，并令$M_1$为$M$中无限高度的元素的$M$由……组成的子模。 证明无限高度的$n$-初级模$M/M_1$包含无非零元素。

b) 令$p$为素数数，并令$E$为$p$群$E_n = \mathbf{Z}/(p^n)$($n \geq 1$)中的直和；让 $e_n$ 表示 $E_n$ 中 1 mod $p^n$ 的剩余类类。 对于所有整数 $n \geq 2$，令 $H$ 为由元素 $e_1 - p^{n-1} e_n$ 生成的 $E$ 的子模。 设$M$为商模$E/H$。 证明$M$中无限高的元素的子模$M_1$是子模$(E, + H)/H$，与$E_1$同构的，并证明$M_1$中不存在$M$中无限高的非零元素。