习题 6, § 3

令 $A$ 为主理想整环，具有唯一的最大理想 $A \tau$，并且关于例 1 中定义的拓扑 $\mathscr{T}$ 完整。 5. a) 证明有限秩、包含的任何无扭转$A$-模 $E$ 没有非零的可整除的子模，都是自由的（考虑由最大伪自由族生成的 $E$ 子模 $M$；如果$M \neq E$ 在例 4, b) 和 5, b) 的帮助下证明 $E$ 包含非零的可整除子模)。将这个结果推广到$E$有可数秩的情况（继续归纳）。 b) 在自由模$E = A^{(\mathbf{N})}$（$A$的可数无限多个副本中的直和）中，令$(a_n)_{n=1}^\infty$为典范基，并令每个整数$n \geq 1$为$e_n = a_n - \pi a_n$。证明$e_n$生成的$E$的子模$M$是纯的，并且$e_n$形式是最大伪自由族，但是$E/M$是可整除的模，因此$M$不允许补集$E$。