习题 8, § 3

设 A 为主理想整环，它不是域。 a) 证明乘积 A-模 A'' 不承认生成元中可数的系统。 （如果 A 是可数的，则考虑 Card(A^N)；否则请注意，如果对于 A 中的所有 x \，我们让 v_x 表示 A'' 的元素 $(x^n)_{n \geq 0}$，则 $v_x$ 形式是一个自由的系统）。 b) 令 $\pi$ 为 A 的不可约元。令 S 表示序列 $z = (z_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 中 A'' 由……组成的子模，其中存在整数的序列 $(k(n))_{n \in \mathbf{N}}$ 趋于 $+\infty$（取决于z)，使得对于所有 n 都有 $z_n \in A \pi^{k(n)}$。证明 $(A/\pi)$-向量空间 $S/\pi S$ 具有可数基。 c) 从a)和b)推导出$A^N$不是自由A-模。 （否则，S 将是自由A-模，并具有可数基；但 $(x,$ $(x_n \pi^n)$ 是从 $A^N$ 到 S 的单射 A 线性映射。）