习题 9, § 3

设 A 为主理想整环，M 为 A-模 $A^N$ 的对偶。令$f : M \to A^N$为典范嵌入$A^{(N)} \to A''$的转置映射（其中$A^N$与$A^{(N)}$的对偶相同）。 a) 令$\pi$为A的不可约元，令$\varphi : A^N/A^{(N)} \to A$为线性形式；证明如果 $u \in A^N/A^{(N)}$ 是元素 $(u_n) \in A''$ 的类，使得 $u_n \in (\pi^n)$ 对于所有 $n$，则$\varphi(u) = 0$。如果包含两个非关联不可约元，则推断 f 是单射的。 （使用上述内容和 Bezout 恒等式，证明 $A^N/A^{(N)}$ 的对偶是零。） b) 给出例 1 中定义的 A 拓扑。 5 个VII、p. 60。证明，如果 f(M) 不包含在 $A^{(N)}$ 中，则 A 是完备的。 （约化问题表明，如果$\varphi : A^N \to A$是线性形式使得$\varphi(e_n) \neq 0$对于$A^{(N)}$的典范基的每个元素$e_n$，则$\operatorname{Im}(\varphi)$包含于 A 的元素的任何级数的和足够快地趋于 0。） c) 如果包含两个非关联不可约元，则从 $A^{(N)}$（或 A'）到其双对偶的规范映射是双射的（使用 a) 和 b)）。