习题 23, § 4

令$A$为主理想整环，令$M$为有限生成的$A$模块。证明如果 $N$ 和 $P$ 是两个 $A$ 模，使得 $M \oplus N$ 和 $M \oplus P$ 同构，则 $N$ 和 $P$ 同构。 （约化对于$M$是循环的情况；通过将$M \oplus N$与$M \oplus P$识别，我们可以考虑将$A$-模块$E$以两种方式分解为子模$F \oplus N$的直和和$G \oplus P$，其中$F$和$G$是循环且同构的。在$F$和$G$与$A$同构的情况下，证明如果$N \neq P$则$N$是直和。 $N \cap P$和子模同构于$A$。如果$F$和$G$同构于$A/\mathbf{A}\pi^n$，其中$\pi$是$A$的不可约元，则考虑两个生成元分别是$F, G$的$a, b$，并检查$\pi^n a \notin G,\ \pi^n b \notin F$的情况，最后是$\pi^{n-1}a \in G$和$\pi^{n-1}b \in F$的情况；在最后一种情况下，考虑$E$的元素$a + b$和子模它生成。）