习题 24, § 4

An abelian group $G$ is isomorphic to a subgroup of the multiplicative group $K^*$ of nonzero elements of some commutative field $K$ if and only if the torsion subgroup $T$ of $G$ has rank $\leq 1$ (Ex. 22). (For the necessity of this condition, cf. V, p. 79, Prop. 2 ; use the same reference to show that the condition is sufficient for $T$ to be isomorphic to a subgroup of $E^*$, for some field $E$. 对于所有$a \in G/T$，让$g_a$作为$G$中$a$的陪集代表，然后，用$E^*$的子群识别$T$，我们可以为所有$a, \beta \in G/T$写出$g_a g_b = e_{\alpha\beta} g_{(\alpha\beta)}$，其中$e_{\alpha\beta} \in E$。 证明存在一个基 $(b_i)_{i \in G/T}$ 的 $E$ 代数 $B$，使得 $b_a b_b = e_{\alpha\beta} b_{(\alpha\beta)}$ 对于所有 $a, \beta$，并使用 VI、p. 33 证明$B$ 是整环，例如。 20，c)。 那么分数的域、$B$的$K$满足所需的条件。）