习题 8, § 4

令 G 为主理想整环 A 上的有限长度的模。对于自由模 M 和 N 中的任意对，使得 $N \subset M$ 和 G 同构于 $M/N$，与 A 不同的 N 相对于 M 的不变量因子与该不变量相同G 的因子（VII，p. 20，定义 2）；他们的数称为G的秩。

a) 证明G的秩$r$是G的循环子模中最小的数，其中G是直和，并且等于G的$\pi$主成分中的秩的最大的。

b) 证明G 的子模或商模的秩至多等于G 的秩（将G 视为秩 r 的两个自由模的商）。

c) 对于每个$A \in A$，证明子模 AG 的秩等于 G 的不变量因子的数，且不除 A（注意，如果$E = A/(A\alpha)$，则模 $\lambda E$ 同构于$(A\lambda)/((A\alpha) \cap (A\lambda))$）。推断 G 的第 k 个不变量因子（在递减阶中）是那些 $A \in A$ 的 gcd，使得 AG 有秩 $\leq r - k$。

d) 令 $A\alpha_k$ ($1 \leq k \leq r$) 为 G 排列在递减阶中的不变量因子。设H为秩$r - q$的G的子模，并令$A\beta_k$($1 \leq k \leq r - q$)为其不变量因子，排列在递减阶中。从 b) 和 c) 中推导出 $1 \leq k \leq r - q$ $\beta_k$ 除 $\alpha_{k-q}$。同样证明，如果$G/H$在递减阶中有秩$r - p$且不变因子$Ay, (1 \leq k \leq r - p)$，则$\gamma_k$除$a_{r-p}$对于$1 \leq k \leq r - p$。

e) 相反，令L为秩$r - q$的挠元模，其不变量因子$A\lambda_k$($1 \leq k \leq r - q$)使得$\lambda_k$除$\alpha_{k+q}$ $1 \leq k \leq r - q$。证明G存在子模 M和N，使得L同构于M和G/N（将G分解为子模同构于$A/A\alpha_k$的直和）。