习题 2, § 5

a）证明域$K$上的每个平方矩阵都与它的转置相似（约化与Jordan矩阵的情况相似）。 b) 证明有理整数的环$\mathbf{Z}$、矩阵$\begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$与其转置不相似。 c) 设$u$为$K$上有限维向量空间的自同态。那么$u$的每一个特征值$\lambda$也是$E^*$的转置自同态$'u$特征值。此外，如果$A$和$\mu$是$u$的两个不同的特征值，如果$x$是$u$相应的到$A$的特征向量，并且如果$y^*$是$'u$的特征向量相应的到$\mu$，然后$\langle x, y^* \rangle = 0$。