习题 5, § 5

a) 令$K$为代数闭域，令$A$为阶$n$在$K$上的平方矩阵，位于下三角形对角线块$\operatorname{diag}(A_i)$的形式中矩阵$A_i$，使得$A_i$的对角线条目都等于$K$（$1 \leq i \leq r$）的相同元素$a$，以及$i \neq j$的$\alpha_i \neq \alpha_j$。证明与 $A$ 通勤的每个平方矩阵 $B$ 都是对角线块 $\operatorname{diag}(B_i)$，其中 $B_i$ 与 $1 \leq i \leq r$ 的 $A_i$ 大小相同。 b) 设$M$为$K$上阶$n$的通勤方阵的集合。证明通过应用与$M$中的所有矩阵具有相同的相似性，我们可以将它们全部变成下三角矩阵的对角线块$\operatorname{diag}(X_i)$，其中$X_i$和阶的数$r$每个$i$的$X_i$中的$m$对于$M$中的每个矩阵是相同的，并且其中$X_i$的所有特征值都相等。 （使用$a$）到约化到$r = 1$的情况，然后引理 3 of VII，p. 41来表明，在这种情况下，$M$中的所有矩阵都有非零的公共的特征向量，并在 $n$ 上由归纳完成证明）