Bourbaki

习题 7, § 5

标签 077G，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 077G]。

代数, VII, p. 71

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 AA 为矩阵，其中有 mm 行和 nn 列，共秩 rr，超过域 KK。如果PP是阶mm的平方矩阵并且QQ是阶nn的平方矩阵超过KK，使得PAQ=APAQ = A，证明有存在矩阵 P′P' 类似于 PP 和矩阵 Q′Q' 类似于 QQ 使得

P′=(RS0U),Q′=(R−10S′U′) P' = \begin{pmatrix} R & S \\ 0 & U \end{pmatrix}, \quad Q' = \begin{pmatrix} R^{-1} & 0 \\ S' & U' \end{pmatrix}

其中RR是阶rr的可逆平方矩阵，UU（或U′U'）是阶m−rm - r的平方矩阵 （分别为 n−rn - r），SS（分别为 S′S'）为矩阵，其中 rr 行和 m−rm - r 列（分别为 n−rn - r 行和 mm 列）。

解答

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