习题 14, 附录 1

设A和B为$k$-代数； $(A,B)$-伪双模是集合 E，在 A 上赋予左拟模的结构，在 B 上赋予伪模的右结构，使得底层的$k$-模结构重合。这个对应赋予E超过代数$\widetilde{A}$和$\widetilde{B}$的双模的结构。 E 的乘子为对 $(S,D)$，其中 $S : B\rightarrow E$ 为右 B 伪模块的同态，$D : A\rightarrow E$ 为左 A 伪模块的同态，满足 $aS(b) = D(a)b$ 为 $a\in A,b\in B$。我们用E的乘子$\mathscr{M}(E)$集合来表示；它承认自然的$k$模块结构。

a) 对于每个$x\in E$，我们用$D_x$（或$S_x$）映射$a\mapsto ax$（或$b\mapsto xb$）表示。证明对 $m_x= (D_x,S_x)$ 是 E 的乘子。

b) 对于每个$m= (S,D)\in \mathscr{M}$(E)、$a\in A$和$b\in B$、集合、$am=m_{D(a)}$和$mb=m_{S(b)}$。证明$(A$，B)-伪双模的$k$-模块$\mathscr{M}(E)$结构上的定义，以及映射$x\mapsto m_x$是$(A$，B)-伪双模的同态。