习题 15, 附录 1

设 A 为 $k$ 代数。 A 的乘子是 $(A,A)$-伪双模 A 的乘子。我们用 $\mathscr{M}(A)$ 表示 A 的乘子的 $k$ 代数。 a) 证明映射 $\mu:a\mapsto m_a$ 是 $k$ 代数同态，并且对于 $a\in A, m\in \mathscr{M}(A)$，我们有 $am=m_am$ 和 $ma=mm_a$。因此，同态$\mu$的像是环$\mathscr{M}(A)$的双面理想。

b) $k$-代数 A 的两侧理想 $\mathfrak{b}$ 被称为忠实的，如果它的左和右湮灭子是零。证明如果 A 忠实于 A，则同态 $\mu$ 是单射的，并且理想的 $\mu(A)$ 忠实于 $\mathscr{M}(A)$。

c) 设 B 为单位 $k$-代数包含 A 作为双边理想。对于$b\in B$，让$\sigma_b$和$\delta_b$是从A到A的映射，这样对于$a\in A$，我们有$\sigma_b(a) =ba$和$\delta_b(a) =ab$，以及集合$\pi (b) = (\sigma_b, \delta_b)$。证明对于每个 $b\in B$ 都有 $\pi (b)\in \mathscr{M}(A)$，并且所得的映射 $\pi : B\rightarrow \mathscr{M}(A)$ 是环同态，其中限制到 A 是映射 $a\mapsto m_a$。证明如果理想 A 忠实于 B，则 $\pi$ 是单射的。