习题 2, 附录 1

设 A 为 $k$ 代数，并令 $\mathfrak{a}$ 和 $\mathfrak{b}$ 为 A 的正则（左）理想。

a) 理想的$\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$是正则的当且仅当存在右单位$u$模$\mathfrak{a}$和$v$模$\mathfrak{b}$使得$u-v\in \mathfrak{a}+\mathfrak{b}$。

b) 如果 $\mathfrak{a}$ 是双面右正则，或者 $\mathfrak{a}$ 极大，则推论 $\mathfrak{a}\cap \mathfrak{b}$ 是正则。 c) 令K为交换域，L为两个变量X和Y（III, §2, No. 7，p. 448）中的自由结合K-代数，A为L由……组成的元素的K-子代数次数$\geqslant 1$。证明 A 的理想$A(1-X)$和$A(1-Y)$是正则的，但它们的交减少到0。