习题 3, 附录 2

令$A = A_0\oplus A_1$为型$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$的分级环。假设$A_0$包含在A的中心中，并且$A_1$的每个元素都有平方为零。

a) 设$A^2_1$为$A_1$的两个元素的乘积生成的$A_0$的$\mathbf{Z}$子模块；证明$A^2_1$是$A_0$的零理想，$A^2_1\oplus A_1$是A的两侧零理想。

b) 设$p, q$为整数$\geqslant 0$。用$A^{p|q}$表示免费分级右A-模$A^p_d\oplus A_d(1)^q$（II, §11, No. 2，p. 365，例3）和（分级）自同构（次数0）的$\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$群表示$A^{p|q}$。这样的自同构在$A^{p|q}$的典范基中由矩阵$X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$和$A\in \mathbf{M}_p(A_0)$、$B\in \mathbf{M}_{p,q}(A_1),C\in \mathbf{M}_{q,p}(A_1),D\in \mathbf{M}_q(A_0)$来表示。证明矩阵 A 和 D 可逆（使用 a）和 VIII、p. 168 的习题 16）。 c) 对于上述X，集合 sdetX = det($A-$ BD$^{-1}C$) det $D^{-1}$。证明 sdet X 是 $A_0$ 的可逆元。

d) 证明每个矩阵$X\in \mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$都可以写成乘积

（取$R = BD^{-1}$、$P = A-BD^{-1}C$、$Q = D$、$S = D^{-1}C$。）

e) 证明sdet是从$\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$到可逆元的同态到$A_0$的群。 （使用 d） 到约化到证明等式 sdet(XY) = sdet X sdet Y，当 X 为形式 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ S & I \end{pmatrix}$ 时，其中 S 是初等矩阵。观察到对于每个矩阵$R\in \mathbf{M}_{p,q}(A_1)$，矩阵RS（或SR）的任意两个条目的乘积是零，并推导出等式$\det (I-RS) = (\det (I-SR))^{-1}$。）

f ) 设$X = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$为$\mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$的元素； 集合$^{st}X = \begin{pmatrix} {}^tA & {}^tC \\ -{}^tB & {}^tD \end{pmatrix}$和$^{\pi}X = \begin{pmatrix} D & C \\ B & A \end{pmatrix}$。让$Y\in \mathbf{G}\mathbf{L}(p|q,A)$；我们有 $^{st}($XY$) =^{st}Y^{st}X$ 和 $^{\pi}($XY$) =^{\pi}X^{\pi}Y$。证明等式 sdet X = sdet$^{st}X$ = (sdet$^{\pi}X$)$^{-1}$（使用 d）到计算 sdet$^{\pi}X$）。