习题 4, 附录 2

保留习题的假设 3. 令$M = M_0\oplus M_1$为有限生成的自由分级右A-模；存在唯一的整数$p, q$使得M与$A^{p|q}$同构的。如果 M 的第一个 $p$ 质数向量是齐次的次数 0 并且最后一个 $q$ 是齐次的次数 1，我们说 M 的基是适应的。

a) 令$u$为分级模M的自同构，并令$M_{\mathscr{B}}(u)$为相对于$\mathscr{B}$的适应基的矩阵。证明元素 sdet $M_{\mathscr{B}}(u)$ 不依赖于$\mathscr{B}$ 的选择。我们用 sdet $u$ 表示。

b) 用$u(1)$自同态$u$表示，视为分级模M(1)的自同构。如果$\mathscr{B}$是M的适应基，那么通过交换得到基$^{\pi}\mathscr{B}$，$\mathscr{B}$的第一个$p$向量和最后一个$q$是M(1)的适应基，我们有$M_{_{\pi}\mathscr{B}}(u(1)) =^{\pi}M_{\mathscr{B}}(u)$ (习题 3, f))。推断我们有 sdet($u(1)$) $=$ (sdet $u$)$^{-1}$。

c) 在每个分级左A-模 N 上，我们定义为 $a\in A_i,x\in N_j$ 按设定 $ax= (-1)^{ij}xa$ 对右A-模结构进行规范分级。特别是，我们将 M 的分级对偶$M^{*gr}$视为分级右A-模，也与$A^{p|q}$同构的。令$u$为M的自同构。我们用$M^{*gr}$的$^{st}u$自同构来表示，其特征为公式$\langle^{st}u(x^*), x\rangle = (-1)^{rs}\langle x^*, u(x)\rangle$为$x^*\in (M^{*gr})_r,x\in M_s$。如果$\mathscr{B}$是M的适应基，那么对偶基$\mathscr{B}^*$是$M^{*gr}$的适应基，并且我们有$M_{\mathscr{B}^*}(^{st}u) =^{st}M_{\mathscr{B}}(u)$(习题3, f))。我们有 sdet($^{st}u$) $=$ sdet($u$)。