习题 17, § 1

设E是幺半群，$e$其单位元素，E的S子集，以及由S生成的E的$S'$子幺半群。如果满足以下两个（当E可交换时的同义反复）条件，我们说S承认E上左分式的演算：

(i) 对于每个$a\in E$和每个$s\in S$，都存在$b\in E$和$t\in S'$使得$ta=bs$。

(ii) 对于每个$a\in E,b\in E$和$s\in S$使得$as=bs$，存在一个$t\in S'$使得$ta=tb$。

a) 假设存在从 E 到幺半群 $E'$ 的同态 $u$，使得 $u(S)$ 的每个元素在 $E'$ 中都是可逆的，并且对于具有 $u(a) =u(b)$ 的 E 中的每个 $a, b$，存在一个 $s\in S'$ 使得$sa=sb$。那么S承认E上的左分式中的演算。

b) 假设S在E上承认左分式的演算。在$E\times S'$中，我们用$(a, s)\sim (b, t)$关系表示“E中存在$c$和$d$，因此我们有$ca=db$和$cs=dt\in S'$。”这是等价关系。我们集合$S^{-1}E = (E\times S')/\sim$，我们用$\varepsilon : E\rightarrow S^{-1}E$映射表示，将$a\in E$发送到$(a, e)$的类。在$S^{-1}E$上存在唯一的幺半群结构，使得$\varepsilon$是单位同态，$\varepsilon (s)$对于每个$s\in S$都是可逆的，并且对于$(a, s)$的$(a, s)\in E\times S'$、类来说， $S^{-1}E$等于$\varepsilon (s)^{-1}\varepsilon (a)$。我们说$S^{-1}E$是与S相关的E的左分式的幺半群。当幺半群E是可交换的时，重合与I, §2, No. 4、p. 18中定义的幺半群相同。

c) 设$a, b$在E中。当且仅当存在$s\in S'$使得$sa=sb$时，我们才有$\varepsilon (a) =\varepsilon (b)$。 映射 $\varepsilon$ 是单射（或双射）当且仅当 S 的每个元素是右正则（或可逆）。

d) 设$f$是从E到幺半群F的单位同态，使得$f(S)$的每个元素在F中都是可逆的。存在唯一同态$\overline{f}: S^{-1}E\rightarrow F$使得$f=\overline{f}\circ s$。如果 $f$ 是单射的，则 $\overline{f}$ 是单射的。 e) 如果 S 在 E 的相反幺半群 $E^o$ 上承认左分式的演算，我们说 S 在 E 上承认右分式演算。在这种情况下，定义与 S 伴随的 E 的右分式 ES$^{-1}$ 的幺半群，观察我们有(ES$^{-1}$)$^o= S^{-1}(E^o)$，并将 b) 重写为右分式的幺半群。如果 S 承认左上的演算和 E 上的右分式，则幺半群 $S^{-1}E$ 和 ES$^{-1}$ 是规范同构的。