习题 18, § 1

a) 令A为A的环、S子集，以及包含1和S的$S'$最小的子集，并且在乘法下稳定。如果满足以下两个（当 A 可交换时的同义反复）条件，则我们说 S 承认 A 上的左分式演算：

(i) 对于每个$a\in A$和每个$s\in S$，都存在$b\in A$和$t\in S'$使得$ta=bs$。

(ii) 对于每个$a\in A$和$s\in S$使得$as= 0$，存在一个$t\in S'$使得$ta= 0$。

这相当于说，S 在仅赋予集合 A 乘法（习题 17）而获得的幺半群上承认左分式的演算。证明在乘法幺半群$S^{-1}A$上，存在唯一的加法，使得$S^{-1}A$，赋予这个加法及其乘法，是环，并且典范映射$\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$（前述）是环同态。我们说$S^{-1}A$是与S关联的A的左分式的环。当A可交换时，这个重合和环定义在I, §8, No. 12，p. 113中。

b) 集合 S 在 A 上承认左分式的演算当且仅当存在环 B 和环同态 $u: A\rightarrow B$，使得 $u(S)$ 的每个元素在 B 中都是可逆的，并且对于每个$a\in u^{-1}$(0)，存在$s\in S$使得$sa= 0$。

c) 假设S承认A上的左分式的演算。典范同态$\varepsilon : A\rightarrow S^{-1}A$的核是$a\in A$的集合，其中存在$s\in S$和$sa= 0$。

令$f$为从A到环B的同态，使得$f(S)$的每个元素在B中可逆。存在唯一同态$\overline{f}: S^{-1}A\rightarrow F$使得$f=\overline{f}\circ s$。如果 $f$ 是单射的，则 $\overline{f}$ 是单射的。

d) 对于右分式的演算，用类似于a)、b)、c)的方式制定叙述；如果S承认A上的右分式的演算，我们用AS$^{-1}$表示A的右分式的环。在这种情况下，我们有 (AS$^{-1}$)$^o= S^{-1}(A^o)$。如果 S 承认左上的演算和 A 上的右分式，则环 $S^{-1}A$ 和 AS$^{-1}$ 是规范同构的。

e) 设 A 为非零环，没有零因子。那么 A 承认左分式的域 (I, §9, p. 177, 习题 15) 当且仅当 A 的非零元素的集合 S 承认 A 上的左分式的演算，在这种情况下， $S^{-1}A$是A的左分式的域。