习题 22, § 1

令 G 为群，H 为 G 的法线子群，使得商群 $G/H$ 同构于 $\mathbf{Z}$。令$g$为G的元素，其典范像位于$G/H$生成$G/H$中。设C为交换环，H的A代数C[H]超过C(III, §2, No. 6，第$446$)$, (e_h)_{h\in H}$其典范基，以及发送的A的$\sigma$自同构 $e_h$至$e_{ghg^{-1}}$。

a) 证明从环$B = A[X]_{\sigma}$到环C[G]存在唯一同态$u$，A的扩展典范嵌入=C[H]到C[G]并发送X 至元素 $e_g$ 典范基 C[G]。

b) 集合$S =\{X\}$。证明从环$S^{-1}B$（cf.习题21）到C[G]，$u$扩展到同构。推论如果环C[H]是左诺特的，那么环C[G]也是。