习题 25, § 1

保留习题 24 中的记号。

a) 对于 G 的任意子群 H，令 $I_H$ 为典范满射 $\mathbf{Z}[G]\rightarrow \mathbf{Z}^{(G/H)}$ 的核。则从G的子群的集合到$\mathbf{Z}[G]$的左理想集合，映射$H\mapsto I_H$为递增单射；如果 H 是 G 的正常子群，则理想的 $I_H$ 是双面的。

b) 假设环 A[G] 是左诺特的。那么也是右诺特。对于 G 的每个子群 H，环 A[H] 为左诺特的；特别地，环A是诺特。如果 H 在 G 中是正规的，则环 $A[G/H]$ 是左诺特的。 G 的每个子群都承认有限生成系统。

c) 证明以下性质是等价的：

(i) 群 G 承认合成列其商是有限的或同构于 $\mathbf{Z}$。

(ii) 群 G 承认合成列 $(G_i)_{0\leqslant i\leqslant n}$，使得 $G_1$ 在 G 中具有有限的指标，并且对于 $0\leqslant i\leqslant n-1$，$G_i/G_{i+1}$ 同构于 $\mathbf{Z}$。

当他们满意且环 A 为诺特时，环 A[G] 为左诺特的（使用习题 22）。