习题 11, § 11

取习题 8 的假设和记号。用 $f': D\rightarrow B$ 和 $g': D\rightarrow A$ 同态表示，由两个投影推导出来

$\varphi_1: K_1(D)\rightarrow K_1(A)\times K_1(B)$ 和 $\psi_1: K_1(A)\times K_1(B)\rightarrow K_1(C)$

映射由$\varphi_1(z) = (g^{'*}(z), f^{'*}(z))$和$\psi_1(x, y) =f^*(x)-g^*(y)$定义。 a) 证明序列

是精确的（观察$f(E(A)) = E(C)$）。此外，证明如果存在环同态 $s: C\rightarrow A$ 使得 $f\circ s=$ Id$_C$，则 $\psi_1$ 是满射。

b) 对于任何整数 $n$ 和$\mathbf{G}\mathbf{L}_n$(C) 的任何元素 $g$，用 $P_g$ 表示与模 $A^n$ 和 $B^n$ 相关的射影 D-模以及同构从 $C\otimes_AA^n$ 到 $C\otimes_BB^n$ 以及矩阵 $g$ (习题 8)。 构造同态 $\partial : K_1(C)\rightarrow K_0(D)$，使得$\partial \circ \iota_n(g) = [P_g]-[D^n_s]$对应于整数$n$以及$\mathbf{G}\mathbf{L}_n(C)$的每元素$g$。

c) 证明序列

是准确的。