习题 5, § 12

设 A 为拟单 K-代数 (VIII, p. 120, 注 2)。

a) 证明$(A$,A)-双模$_sA_d$是简单的；推论A的中心Z是域，同构于这个双模的交换子。

b) 设 B 为 K-代数。证明 $A\otimes B$ 的每个双面理想都是形式 $A\otimes_Z\mathfrak{b}$，其中 $\mathfrak{b}$ 是 B 的双面理想（对于 Z = K 的情况，约化，并使用 VIII、p. 63 的推论 2）。

c) 推论如果A和B是拟单K-代数，其中一个有中心K，则代数$A\otimes B$是拟单。

d) 设 B 为 B 的 K-代数和 A 拟单子代数，其中中心 Z 包含 K。证明 A 及其 B 中的交换子$A'$ 在 Z 上线性不相交的（使用 b））。

e) 设 A 为拟单 K-代数，Z 为中心。令$\varphi : A\otimes A^o\rightarrow$End$_Z(A)$为同态，将$a\otimes b$发送至自同态$x\mapsto axb$。证明 $\varphi$ 是单射且其像 H 为拟单代数（使用 c) 和 d)）。此外，证明 H 在 End$_Z(A)$ (VIII, p. 129, 习题 3) 中是稠密的；我们有 H = End$_Z(A)$ 当且仅当 A 在 Z 上是有限维的 (cf. VIII, p. 128, 习题 2)。 f ) 设 A 为半单代数且中心 K。从 e) 推导出K-代数 $A\otimes A^o$ 为半单当且仅当 A 的有限秩超过 K (cf. VIII, p. 238, 定理 2）。