习题 1, § 13

设 K 为交换域，A K-代数。如果对于 K 的每个扩张 L，$A_{(L)}$-模 $M_{(L)}$ 都没有根式，我们称 A-模 M 绝对没有根式。如果 A-模 $A_s$ 绝对没有部首，我们就说代数 A 绝对没有部首。

a) 绝对没有部首的交换代数是可分的(V, §15, No. 2, p. 119, 定义 1)。

b) 模中每一个绝对没有部首的子模都是绝对没有部首的；绝对无部首的模直和是绝对无部首。

c) 设M为有限生成A-模；则 M 绝对无根式当且仅当存在完美域 P，它是 K 的代数扩张，使得 $\mathfrak{R}_{A_{(P)}}(M_{(P)}) = 0$。

d) 半单A-模 M 绝对无根式当且仅当 M 的支座的每一个单模属于都是。

e) 令 S 为单A-模，D 为其交换律。证明以下性质是等价的：

(i) A-模 S 绝对没有部首。

(ii) K-代数 D 绝对没有部首。

(iii) D 的中心是 K 的可分扩张。

f ) 半单代数绝对无根式当且仅当其每个简单成分的中心是 K 的可分扩张。

g) 证明K上绝对无根且有限维的A-模是绝对半单的。