习题 7, § 13

令 E 为特征 $p >0$ 交换域 K 的 $p$ 根式扩展。假设环$E\otimes_KE$是诺特。

a) 证明存在整数 $k$使得$E\subset K^{p^{-k}}$（矛盾原因：E中的构造序列$(x_n)$使得$(x_n\otimes 1-1\otimes x_n)^{p^{n-1}}\not= 0$和$(x_n\otimes 1-$$1\otimes x_n$）$^{p^n}= 0)$。

b) 设$F = K(E^p)$，并设$(x_i)_{i\in I}$为E在F上的$p$基（V, §13, No. 1，p. 98）。 集合$y_i=x_i\otimes 1$和$z_i=x_i\otimes 1-1\otimes x_i$。令Λ为$(\alpha_i)_{i\in I}$家庭的$\mathbf{N}^{(I)}$由……组成中的子集，使得每个$i$都有$\alpha_i< p$。证明 F 向量空间 $E\otimes_FE$ 的 $(\alpha_i), (\beta_i)\in \Lambda$ 形式基元素 $\prod_{i\in I}y^{\alpha_i}_iz_i^{\beta_i}$。推断 I 是有限的（观察环 $E\otimes_FE$ 是诺特）。

c) 结论 E 比 K 具有有限次数（使用 V, §13、p. 170 的习题 1，b）。