习题 14, § 14

设D为域，Z为D上的中心、V左向量空间，以及阿贝尔的群V的Ω自同态环。赋予 Ω 天然的 $(D$,D)-双模结构。令 Γ 为 D 的自同构群，且 Δ 子群为内自同构（与 $D^*/Z^*$ 同构的）。

令 S 为 Ω 的子集半线性映射的由……组成（相对于 Γ 的元素），F 为由 S 生成的 Ω 的左 D 线性子空间；它重合与 S 生成的右 D 线性子空间 。

a) 对于$\theta \in \Gamma /\Delta$，用半线性映射的$S_{\theta}$集合从V到其自身相对于D属于到$\theta$的自同构表示，并用$F_{\theta}$表示由下式生成的F的D线性空间 $S_{\theta}$。证明对于$\theta \in \Gamma /\Delta$，F 是子空间 $F_{\theta}$ 的直和。 b) 证明如果$S_{\theta}$是Z上的自由子集，那么它在D上也是（左和右）自由的（原因如V, §6, No. 1、p. 27的定理 1的证明）。

c) 令 E 为 F 的 $(D$, D)-子双模。证明 E 是由半线性映射属于到 $F_{\theta}$ 生成（在 D 上）。 （令 B 为 S 中包含的 F 的基。证明 E 由具有以下性质的向量 $u\in E$ 生成：如果 $u=\sum^n_i\lambda_ib_i$ 对于每个 $i$ 具有 $\lambda_i\not= 0$ 和 $b_i\in B$，则 E 的交和由$b_i$生成的F的子空间减少到$Du$，然后从a)推导出$u$是半线性的。）