习题 18, § 14

令K为交换域，Z为次数$n\geqslant 3$的K（V, §11, No. 6，p. 85）的循环扩张，以及Z在K上的伽罗瓦群的$\sigma$生成元。 $z\in Z$用A环$\mathbf{M}_2(Z)$和矩阵$\begin{pmatrix} z & 0 \\ 0 & \sigma(z) \end{pmatrix}$的由……组成B子环表示。 a) 保留习题 17 中的记号。 证明A的自同构存在伽罗瓦群G，使得$A^G= K, (G : G_0) =n$和$U_0(G) = A$。

b) 证明 B 是 A 的简单子环，但 A 中的交换子 $B'_0$ 与 $Z\times Z$ 同构。

c) 令H为固定B的A的自同构的群。证明$A^H$等于$B'_0$。从 B 到 Z 的构造同构固定 K，但不固定 A 的扩展到自同构 (cf. 习题 17, b))。

d) 证明 A 的子环 B 是弱伽罗瓦，但不是伽罗瓦（习题 16；描述 Ω 中 B 的交换子）。