习题 3, § 14

a) 令 K 为交换域，A K-代数，B 为有限秩的 A 的中心单子代数。设$B'$为B在A中的交换子。证明从$B\otimes_KB'$到A的典范同态是双射的。 （注 B 和 $B'$ 在 K 上是线性的不相交的 (VIII, p. 225, 习题 5, d)）。此外，证明 A 是与 B 同构的 $(B\otimes_KB^o$) 模块族 $(M_{\iota})_{\iota\in I}$ 的直和，并观察对于$M_{\iota}$ 相应的到 $1\in B$ 的每个 $\iota \in I$、元素同构属于至 $B'.)$

b) 相反，令 B 为 K-代数，使得对于每个代数包含 B 且具有与 B 相同的单位元，从 $B\otimes_KB'$ 到 A 的典范同态是双射的。证明代数 B 是中心简单且有限秩（取A = End$_K(B)$；从假设推出B是中心且拟单，并使用习题 5，VIII、p. 225的e））。