习题 9, § 16

设 G 为有限群，M 为 $\mathbf{Z}$[G]-模。从M到M用$N_G$同态$m\mapsto \sum_ggm$表示；它的像包含在不变量元素的M由……组成的子模$M^G$中。设$T_G(M)$为商群$M^G/N_G(M)$。 a) 设 $c\in Z^2(G,M)$。证明元素$\sum_hc(h, g)$属于到$M^G$；我们用$\theta_c(g)$表示$T_G(M)$中的类。证明从G到$T_G(M)$$\theta_c$是同态，即$c\in B^2(G,M)$时是零。由此推导出同态$\theta_M: H^2(G,M)\rightarrow$Hom(G$,T_G(M)$)。

b) 令$u: M\rightarrow N$为$\mathbf{Z}$[G]-模的同态以及由$u$诱导的$\widetilde{u}: T_G(M)\rightarrow T_G(N)$同态。证明我们有 $\theta_N\circ H^2(u) =$ Hom(1$_G,\widetilde{u}$)$\circ \theta_M$。 c) 从现在开始假设G是循环的；设$\sigma$为G的生成元，并用$n$表示其阶。令$\chi \in$Hom(G$,\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}$)为将$\sigma$发送至1的类的同态，并令$\lambda \in H^2(G,\mathbf{Z})$通过与正合序列$0\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}\rightarrow \mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\rightarrow 0$相关联的连接同态为其像。证明$\lambda$是元素$\varepsilon \in Z^2(G,\mathbf{Z})$的类，使得对于$0\leqslant p < n$和$0\leqslant q < n$，如果$p+q < n$则像$\varepsilon (\sigma^p, \sigma^q)$等于0，如果$p+q\geqslant n$则等于1。对于$m\in M^G$，用$h_m$表示从$\mathbf{Z}$到M的$\mathbf{Z}$[G]线性映射，使得$h_m(1) =m$。证明$H^2(h_m)(\lambda )$乘以$\theta_M$的像等于$m$的类，因此$\theta_M$是满射。

d) 证明$\theta_M$ 是同构。 （让$c\in Z^2(G,M)$。证明我们可以假设每个$g\in G$有$c(g,1) =c(1, g) = 1$，并且确定像由元素$b$的$d^1$和$C^1(G,M)$的$a_m(m\in M)$定义为$b(\sigma^p) =\sum^{p-1}_{i=0}c(\sigma^i, \sigma )$和$a_m(\sigma^p) =\sum^{p-1}_{i=0}\sigma^im.$）