习题 4, § 17

令 D 为 D 的域、$\sigma$ 自同构、A 环 $D[X]_{\sigma}$ (VIII、p. 11)$,n$ 整数 $\geqslant 2$、以及 D 的 $a$ 非零元素。将 A 的元素 $X^n-a$ 表示为 $f$。 a) 理想的$Af$是双面的当且仅当我们对于每个$x\in D$都有$\sigma (a) =a$和$\sigma^n(x) =axa^{-1}$。 b) 假设D的中心中包含的单位元的第$n$-第根的群$\mu_n$是阶$n$的循环，并由$\sigma$固定。令 $g\in A$ 为不可约一元多项式 (VIII, p. 22, 习题 27) 在右侧除以 $f$。证明$g$ 除 $n$ 的次数 $d$ 以及$f$ 是次数 $d$ $n/d$ 多项式的乘积。 （令$h$为满足$Ah=\bigcap_{\zeta\in\mu_n}Ag_{\zeta}$的一元多项式，其中$g_{\zeta}(X) =g(\zeta X)$。观察到对于每个$\zeta \in \mu_n$，我们必然有$h(\zeta X) =h(X)$，并推导出$h=f$。然后，通过构造$1\leqslant i\leqslant n/d$，应用loc.cit.，b）， 元素 $\zeta_i$ of $\mu_n$ 和多项式 $h_i$ of 次数 $id$ 使得 $Ag_{\zeta_1}\cap \cdots \cap Ag_{\zeta_i}= Ah_i.)$

此外，如果理想的$Af$是双面的，则环$A/Af$是半单，并且其简单组件都具有相同的长度（观察每个简单的$(A/Af$）模块与模$A/Ag_{\zeta})$之一同构。

c) 假设从现在开始满足b)的假设，理想的$Af$是双面的，并且$n$是素数数。从b）推断我们处于以下情况之一：

(i) 存在$b\in D$，使得$a=b^n$并且$\sigma$是与$b$相关联的内自同构。 环 $C = A/Af$ 与乘积环 $D^n$ 同构的。

(ii) 不满足(i)的条件，但存在$c\in D$使得$a=\sigma^{n-1}(c)\sigma^{n-2}(c). . . \sigma (c)c$。 环C是长度$n$的简单形式。

(iii) D 不存在元素$c$使得$a=\sigma^{n-1}(c)\sigma^{n-2}(c)\cdots \sigma (c)c$。 环C为域。

在D可交换的情况下，恢复VIII、p. 330的习题11的结果。此外，如果$n= 2$，则C是$\sigma$下D不变量的子域K之上的四元数代数。

d) 证明存在阶$n$的C自同构$\tau$，其不变量子域等于D。在上述情况(ii)和(iii)中，D是C的伽罗瓦子域 （习题 16，共 VIII，p. 274）。

e) 假设$\sigma$是与D的元素$d$相关联的内自同构。证明我们有$a=d^nz$，其中$z$属于到C的中心Z，并且环C是同构于张量积 $D\otimes_ZZ[X]/(X^n-z)$。

f ) 假设$\sigma$不是内自同构。证明C的中心是元素的Z由……组成的子域在$\sigma$下不变。