习题 5, § 17

设$K_0$为有理分式$\mathbf{Q}(X)$中的域。令 K 为二次方扩张

$K_0(\rho )$，其中$\rho$是单位元的原始立方根，D是K的循环扩张$K(^{^3}X)$，$\sigma$是D在K上的伽罗瓦群的生成元。考虑代数 C 定义如习题 4，其中$n= 3$ 和$a= 2$。

a) 证明C是域，中心K，次数9除以K。（要证明D没有范数2的元素，约化到证明有不能存在） 形式 $2F^3= P^3$+XQ$^3+X^2R^3$ +3XPQR 的关系，其中 $F,P,Q,R$ 是 $\mathbf{Q}(\rho )[X]$ 中的互质多项式。为此，请考虑这些多项式的最低次数项。） b) 证明不存在任何自同构 C 扩展了 K 与恒等式不同的独特 $K_0$ 自同构（约化到这样的自同构保留 D 的情况）。推断$K_0$不是C的伽罗瓦子域（VIII，p. 274，习题16），并且不存在阶2的C的$K_0$自同构。

c) 设$\xi$为D的元素，使得$\xi^3= X$，并令$\eta$为C的元素，使得$\eta^3= 2$和$\eta \xi =\rho \xi \eta$； 集合$\zeta =\xi +\eta +\eta^2$。证明 $K(\zeta )$ 是 D 的极大交换子域并且不是 K 上的伽罗瓦，而极大交换子域 $K(\xi )$ 和 $K(\eta )$ 是 K 上的伽罗瓦 (计算 $\zeta^3$)。