习题 1, § 18

令 D 为域。

a) 设 E 是 D 的真子域，其乘法群 $E^*$ 在 $D^*$ 中具有有限的指标。证明 D 是有限的（对于 E 的不同元素的序列 $(a_n)$ 和 D - E 的元素 $x$，考虑元素 $x+a_n$ 的类 mod $E^*$）。

b) 证明 D 的元素只有有限多个 D 的共轭属于到中心 Z（将 a）应用到 D 中这个元素的交换子，即域）。 c) 推断 Z[X] 中的多项式在 D - Z 中具有根，在 D - Z 中具有无穷多个根。