习题 2, § 18

设 A 为 K-代数和 $m$ 整数。假设 A 的每个元素都是 K 上次数 $\leqslant m$ 的代数。

a) 证明如果A是本原环，则存在整数$r\leqslant m$和域D，其元素都在K上有次数$\leqslant m$，使得A与矩阵代数$\mathbf{M}_r(D)$同构的。 （如果 A 不简单，则从稠密性定理推出对于每个整数 $n$，存在 A 的子代数 $A_n$ 和满同态 $A_n\rightarrow \mathbf{M}_n(D)$。观察代数 $\mathbf{M}_n(D)$ 包含元素X使得$X^{n-1}\not= 0$和$X^n= 0.$）

b) 假设域 K 是无穷大。证明代数$A/\mathfrak{R}(A)$是半单并且最多承认$m$简单成分（观察次数$n$的代数$K^n$包含元素超过K；推断A承认在大多数 $m$ 最大双面理想，以及利用得出 a))。此外，证明如果 K 是完美的，则 $A/\mathfrak{R}(A)$ 的有限秩大于 K。