习题 3, § 18

令 K 为交换域。如果 K-代数 A 的所有元素都是 K 上的代数，我们就说 K-代数 A 是代数的。有限秩的每个代数都是代数；代数代数的每个子代数和商代数都是代数。代数 K-代数的根式是零理想（VIII、p. 166、习题 5）。

a) 证明代数代数是伪正则环 (VIII, p. 178, 习题 4)；观察对于每个 $x\in A$，存在元素 $y\in K[x]$ 和整数 $k$，使得$x^k=x^{k+1}y$）。

b) 设 A 为代数 K-代数，除 0 外不存在任何幂零元。证明 A 与域的乘积的子代数同构。 （观察 A 的每个商代数都具有相同的属性。证明如果 A 是原语，那么它是域，乘以推理，如习题 2, a 中所示）。一般情况下，使用VIII、p. 168中的习题 12。）