习题 4, § 19

令$(F, s)$为阿廷的（结合）凯莱K-代数，并令$\mathfrak{r}$为其根式。 a) 证明对于每个$x\in \mathfrak{r}$，我们都有$x^2= 0$和$s(x) =-x$； 代数$\overline{F}= F/\mathfrak{r}$是凯莱并且同构于习题3中描述的代数之一。

b) 证明如果 $\overline{F}$ 是四元数代数超过 K，则 $\mathfrak{r}$ 减少到 0（观察对于 $a, b\in F,x\in \mathfrak{r}$ 我们有 $(ab-ba)x= 0$）。 c) 假设 $\overline{F}$ 是可交换的。证明 $\mathfrak{r}^3$ 会减少到 0，但 $\mathfrak{r}^2$ 可能不会。

d) 假设 $\overline{F}$ 是可交换的，且 $\mathfrak{r}^2$ 约简为 0。证明存在一个 F 模 V，使得 F 同构于 $\overline{F}\oplus V$，并赋予 K-代数的结构，我们有 $(\lambda , v)(\mu, w) = (\lambda \mu, \lambda w+s(\mu)v)$。 （在情况 $\alpha$ ）到习题 3、c）的$\gamma )$，使用VIII、p. 245 的推论 1。如果$\delta )$，选择是$\overline{F}$的$p$基$(e_i)_{i\in I}$超过K，并且对于F的每个$i\in I$，元素$f_i$，提升$e_i$，并证明由$(f_i)$生成的F的子代数与F同构。）