习题 3, § 20

设 A 为阿廷环和 $\overline{A}$ 环 $A/\Re (A)$。我们将 A 的分解作为不可分解理想 $Ae_i(i\in I)$ 的直和，其中 $e_i$ 是正交幂等 (VIII, p. 179, 习题 6, d))。我们用I的$I =\cup_{\alpha\in R}I_{\alpha}$划分表示，使得I属于的两个元素$i, j$与相同的集合$I_{\alpha}$当且仅当模$Ae_i$并且$Ae_j$ 同构。 A-模 $\bigoplus_{i\in I_{\alpha}}\overline{A}\overline{e}_i$ 是 A 的同型组分（VIII、p. 179、习题 6, d) 和 7, a)）

a) 证明如果环 A 是自射 (VIII, p. 53, 习题 8)，则存在 R 的置换 $\sigma$，使得每个右理想 $e_iA$，对于 $i\in I_{\alpha}$，包含都有唯一的最小右理想$j\in I_{\sigma(\alpha)}$ 与 $\overline{e}_j\overline{A}$ 同构（观察幂等 $e$ 的右湮灭子是 $(1-e)A$）。推论A的左底层$\mathfrak{s}$包含在其右底层$\mathfrak{t}$中（证明每个右理想$e_i\mathfrak{s}$都是最小的，通过证明它是最大左理想的湮没子，cf.VIII， p. 178、习题 2)。 结论，我们有$\mathfrak{s}=\mathfrak{t}$，对于$i\in I_{\sigma(\alpha)}$，每个左理想$Ae_i$，对于每个$j\in I_{\alpha}$，包含都有一个与$A\overline{e}_j$同构的唯一最小左理想。

b) 相反，如果每个左理想 $Ae_i$ 包含都是唯一的最小左理想，并且每个右理想 $e_iA$ 包含都是唯一的最小右理想，则环 A 是自射的。 （用VIII、p. 179中的习题 7，证明$\mathfrak{s}$的每一英尺都是最小双面理想。推导出$\mathfrak{t}$包含于$\mathfrak{s}$，然后推导出$\mathfrak{s}=\mathfrak{t}$。最后证明条件习题 $\beta$) VIII 8, p. 53 满足。)

c) 假设 A 是有限次数的代数超过交换域，并且是自内射环。设$\alpha \in R,i\in I_{\alpha}$和$j\in I_{\sigma(\alpha)}$。证明与A-模$Ae_j$关联的A的线性表示同构于与右A-模$e_iA$伴随的$A^o$的线性表示的转置。 （令$U_i$为$A^*$的左子模，即$(1-e_i)A$的正交。从VIII、p. 179的习题 7, d）推导出$U_i$同构于$Ae_j$的商模，因此我们有长$e_iA\leqslant$长$e_jA$。 结论，这些长度相等，所以$U_i$与$Ae_j.)$同构 用b)和习题 2,a)来证明这个叙述的逆命题。